Непрерывные случайные величины
| |||||||||||
|
Непрерывные случайные величины. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу-бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (– ; a), [b;), (–; ). Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум». Если – непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка. Пусть – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < < х + х P(х < < х + х). Здесь х – величина малого интервала. Очевидно, что если х 0, то P(х < < х + х) 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < < х + х) к х при х 0, если такой предел существует: (1) Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х): P(х < < х + х) p(x)х (2) Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,, хn удовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<<xn<b=xn+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1), [х1, х2), ,[хn, b]. Введём обозначения: х0= х1 – х0, х1= х2 – х1, , хn = b – хn, и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина хi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности: P(a b) = (3) Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х1, х2) равна площади фигуры, образованной отрезком [х1, х2] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х1, х = х2, как изображено на рисунке 1. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распре¬деления справедливо равенство Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям: 1) р(х) 0; 2) Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. В качестве примера рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка: По свойству 2) функции р(х) Отсюда . График функции р(х) представлен на рисунке 2. Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х – асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует. Пусть – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством , называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины . Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения. Похожие материалы
| |||||||||||
| Просмотров:1645 | Загрузок: 289 | Рейтинг: 5.0/1 | |||||||||||
| Всего комментариев: 0 | |
